3. Cực trị địa phương và cực trị toàn cục

Xét hàm số $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ($f$ trơn).

Điểm $x^*$ được gọi là cực tiểu toàn cục của $f$ nếu:

Điểm $x^*$ được gọi là cực tiểu địa phương của $f$ nếu tồn tại một lân cận $\mathcal{N}$ của $x^*$ sao cho:

Điểm $x^*$ được gọi là cực tiểu địa phương mạnh của $f$ nếu tồn tại một lân cận $\mathcal{N}$ của $x^*$ sao cho:

$\\$

▸ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CỦA CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG

• Điều kiện cần: Nếu $x^*$ là một cực tiểu địa phương, và $\nabla^2f$ tồn tại và liên tục trong một lân cận mở của $x^*$ thì $\nabla f(x^*) = 0$ và $\nabla^2f(x^*)$ là nửa xác định dương.

• Điều kiện đủ: Nếu $\nabla^2f$ tồn tại và liên tục trong một lân cận mở của $x^*$, $\nabla f(x^*) = 0$ và $\nabla^2f(x^*)$ là xác định dương thì $x^*$ là một cực tiểu địa phương mạnh.

Chú ý: Cực tiểu địa phương suy ra điều kiện cần. Điều ngược lại không chính xác.

$\\$

▸ ĐIỂM DỪNG

Cho $f$ là hàm số khả vi, điểm dừng của $f$ là điểm $x^*$ sao cho $\nabla f(x^*) = 0$.

$\\$

▸ ĐỊNH LÝ

Nếu $f$ lồi thì mọi điểm cực tiểu địa phương của $f$ cũng là cực tiểu toàn cục. Ngoài ra, nếu $f$ khả vi thì mỗi điểm dừng là một cực tiểu toàn cục.

$\\$

▸ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG

Để tìm cực trị địa phương của hàm $f$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm điểm dừng $x^*$ của $f$.

• Bước 2: Tính ma trận Hessian, sau đó kiểm tra các trường hợp dưới đây

  • (1) Nếu $\nabla^2f(x^*) \succ 0$ (xác định dương) thì $x^*$ là cực tiểu địa phương của $f$.

  • (2) Nếu $\nabla^2f(x^*) \prec 0$ (xác định âm) thì $x^*$ là cực đại địa phương của $f$.

  • (3) Nếu $\nabla^2f(x^*)$ không xác định thì $x^*$ không là cực trị địa phương của $f$.

  • (4) Các trường hợp còn lại là các trường hợp đặc biệt, phụ thuộc vào mỗi bài toán mà có thể giải được hay không, hoặc điểm dừng là điểm yên ngựa.

Các phương pháp kiểm tra ma trận (nửa) xác định dương, âm: