2. Tập lồi và hàm lồi

▸ TẬP LỒI

Tập $S \subseteq \mathbb{R}^n$ được gọi là tập lồi, nếu:

Nói cách khác, đoạn thẳng nối hai điểm nằm hoàn toàn trong tập hợp nếu hai đầu mút cũng thuộc tập hợp.

$\\$

▸ TỔ HỢP LỒI

Một tổ hợp lồi của $x_1, x_2,...,x_k \in \mathbb{R}^n$ là một tổ hợp tuyến tính

với các hệ số $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_k \ge 0$ thỏa mãn

$\\$

▸ BAO LỒI

Bao lồi của một tập hợp $S$, ký hiệu là $conv(S)$, là tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc $S$.

$\\$

▸ HÀM LỒI

Cho $S$ là tập lồi.

• Hàm số $f: S \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là hàm lồi nếu:

• Hàm số $f: S \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là hàm lồi ngặt nếu:

• Hàm số $f: S \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là hàm lồi mạnh nếu:

$\\$

▸ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI

• (Định lý) Đặc trưng bậc nhất:

  Nếu $f$ khả vi thì $f$ là hàm lồi khi và chỉ khi $dom(f)$ là một tập lồi, và:

  $$f(y) \ge f(x) + \nabla f(x)^\top(y-x), \quad \forall x, y \in dom(f)$$

• (Định lý) Đặc trưng bậc hai:

  Nếu $f$ khả vi hai lần thì $f$ là hàm lồi khi và chỉ khi $dom(f)$ là một tập lồi, và:

  $$\nabla^2 f(x) \succeq 0, \quad \forall x \in dom(f)$$

  Tức là ma trận Hessian nửa xác định dương.

• (Định lý) Bất đẳng thức Jensen:

  Nếu $f$ là một hàm lồi, và $X$ là một biến ngẫu nhiên trên $dom(f)$ thì:

  $$f(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[f(x)]$$

• Bổ đề:

  Hàm $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm vừa lồi vừa lõm khi và chỉ khi $f$ là hàm affine.