1. Ví dụ mở đầu

Một nhà máy cốc có thể sản xuất hai loại sản phẩm là cốc nhựa và cốc giấy.

Để sản xuất được chúng, ta cần hai loại nguyên liệu:

• Hạt nhựa
• Bột giấy

Nguồn cung nguyên liệu có hạn, mỗi sản phẩm mang lại lợi nhuận khác nhau.

Mục tiêu: Lập kế hoạch sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận.

▸ Ví dụ cụ thể:

▸ Mô hình toán học

Gọi số lượng cốc nhựa là $x_1$, số lượng cốc giấy là $x_2$.

Hàm mục tiêu:

Ràng buộc:

Tương ứng với các điều kiện:

• Lượng hạt nhựa sử dụng không vượt quá 100g.
• Lượng bột giấy sử dụng không vượt quá 80g.
• Số lượng các loại cốc không âm.

▸ Giải bài toán tối ưu bằng phương pháp đồ thị

Đường màu xanh dương là đường thẳng $2x_1 + x_2 = 100$.

Đường màu cam là đường thẳng $2x_2 = 80$.

Có thể thấy miền chấp nhận được của nghiệm là vùng màu xanh da trời.

Đường màu đỏ là hàm mục tiêu $3x_1 + 5x_2 = z$ với giá trị $z$ tăng dần đến khi tiếp xúc với miền chấp nhận được.

Từ đồ thị, ta thấy nghiệm của bài toán tối ưu là $x_1 = 30$ và $x_2 = 40$, với giá trị tối ưu là $z = 290$.

Kết luận: Để đạt lợi nhuận tối đa có thể là 290$, nhà máy phải sản xuất 30 cốc nhựa và 40 cốc giấy.