itHUS - From Big DragoN

1. Đạo hàm của hàm nhiều biến

Cho một hàm số nhiều biến số

\begin{align*} f: & \quad \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \\ & \quad x \ \ \mapsto f(x) = y \end{align*}

▸ GRADIENT (Đạo hàm cấp 1) của $f$ là một ma trận cỡ $n \times 1$ :

\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^\top

Trong đó, $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ là đạo hàm riêng của hàm $f$ theo biến $x_i$ .

$\\$

▸ HESSIAN (Đạo hàm cấp 2) của $f$ là một ma trận cỡ $n \times n$ :

\nabla^2 f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\[8pt] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\[8pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[8pt] \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

Dưới đây là bảng Gradient và Hessian của một số hàm số thường gặp