▸ CHUỖI TAYLOR
Nếu hàm f và các đạo hàm tới bậc n của nó liên tục trên khoảng chứa a và x thì giá trị của f tại x được tính bởi Công thức Taylor dưới đây:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+Rn
Trong đó:
Rn=∫axn!(x−t)nf(n+1)(t)dt=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−a)n+1
Nếu đã biết các giá trị của hàm f và các đạo hàm của nó tại xi, ta có thể tính được giá trị của f tại xi+1:
f(xi+1)=f(xi)+f′(xi)(xi+1−xi)+2!f′′(xi)(xi+1−xi)2+⋯+n!f(n)(xi)(xi+1−xi)n+Rn
Trong đó:
Rn=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xi+1−xi)n+1
với ξ là một giá trị nào đó nằm giữa xi và xi+1.
▸ VÍ DỤ
Sử dụng khai triển chuỗi Taylor tại x0=4π với n từ 0 tới 6 để tính xấp xỉ giá trị của hàm số
f(x)=cos(x) tại x=3π. Cho biết giá trị thực của f(3π) là 0.5. Hãy tính các sai số tương đối thực và sai số tương đối xấp xỉ tại mỗi bước.